Section 1
Le nombre d'or ou PHI est relativement bien connu de ceux qui s'intéressent même un peu aux mathématiques et à la suite de Fibonacci.
PHI (φ) est également associé à des rapports de proportion ou d’agencements particuliers dans la nature https://www.futura-sciences.com/sciences/dossiers/mathematiques-arithmetique-plantes-63/page/4/
PHI ou φ = 1 + √5/2 = 1,618 033 988 749 894 . . .
Pour rappel, PHI est l’unique solution positive connue qui donne :
[x ² = x+ 1] ≡ [ φ² = φ + 1
Pour cette raison en particulier, comme également les nombres ‘’ PI et le nombre d’Euler ’’, ce nombre PHI n’est donc sûrement pas un nombre irrationnel commun, comme on peut le lire parfois.
Pour les adeptes d’ésotérisme !
Le sinus de 666 * 2 + φ = 0
On trouve « le nombre d’or » avec une logique simple dans le triangle
de proportion 3 ; 4 ; 5
Surnommé à tort ou à raison : « triangle Égyptien ou Pythagoricien »
Triangle rectangle ; de proportion 3 ; 4 ; 5 en A, B, C.
Le cercle de centre D est tangent aux 3 côtés du triangle rectangle A ; B ; C
Dans le petit triangle rectangle A, E, D, l’hypoténuse A D est égale à √5
La bissectrice (A F) est donc égale à √5+1
Divisons cette bissectrice par 2 on obtient mathématiquement le nombre d’or
Figure 7
Section 2
Sous la 4ème dynastie, il y a 4500 ans, fut construite la pyramide de KHÉOPS, selon les dimensions officielles en coudée royale de sa base et de sa hauteur finie :
Considérons l’apothème d’une face divisé par un demi côté de la base, quelle que soit l’unité de mesure puisqu'il s'agit d’une proportion, cela donne pour Khéops :
Hauteur : 280 coudées, demi côté de la base : 220 coudées
Apothème divisée par le demi coté :
La pente de la pyramide de KHÉOPS est communément admise pour :14 / 11
La pente de 14/11 de la pyramide de Khéops, ces deux nombres nous invite à écrire la formule de PHI d’une autre façon :
Temps anciens toujours : (et toujours une coïncidence ! ou pas ?)
(Chacun pourra aller vérifier sur google earth)
Plausiblement avant Euclide :
Comment expliquer également que l’emplacement du temple dit “ la KAABA” (premier lieu saint de l’Islam) dont la construction d’un temple préislamique à cet emplacement remonterait probablement à l’histoire antique.
Comment expliquer que ce temple préislamique se trouvait positionné sur la méridienne N/S à seulement 0,043 % d'erreur relative proportionnée à PHI ?
Considérant le segment méridien du pôle Nord au pôle Sud : La KAABA est à 2369,84 km de l’équateur, soit :
7 632,126 km du pôle Nord et 12 371,805 km du pôle Sud.
La longueur de l’ellipse méridienne (norme WGS 84) = 40 007,863 km
40 007,863 km / 2 = 20 003,9315km / PHI = 12 363,109 km
20 003,9315km / PHI²= 7 640,822 km
7 640,822 km - 7 632,126 km = 8,696 km = 12 371,805 km - 12 363,109 km
Une erreur de 8,696 km sur 20 003,9315 km, soit un positionnement proportionné à PHI avec une erreur d’exactitude de 0,043 %
Le double carré de coté 1 et le nombre d’or !
Figure 8
On retrouve également dans la même configuration, ‘‘ 10 * PHI et
10 * l’inverse de PHI’’ concernant la diagonale au sol de la chambre du roi
dans la pyramide de Khéops (SECTION 10 ; figure 24).
Section 3
Le nombre d’or avant EUCLIDE ?
Le contexte historique de la connaissance du nombre d'or dans l'Égypte ancienne et son lien avec Euclide suscitent des interrogations pertinentes. L'affirmation faite par les égyptologues ou certains historiens des mathématiques selon laquelle les Égyptiens de 2500 avant notre ère n'auraient pas eu connaissance de PHI (1,618033988…) repose sur une logique contestable. Cette hypothèse semble découler du fait qu'aucun écrit faisant référence à PHI n'a été retrouvée antérieure à Euclide. Cependant, il est important de noter que les connaissances des mathématiques de l'Égypte ancienne et antérieurement mésopotamiennes étaient riches et complexes, et qu'elles ont pu inclure des concepts liés au nombre d'or qui n'ont pas encore été découverts.
Préface d’Euclide sur Wikipédia :
« Il n’existe aucune source directe sur la vie d’Euclide : Nous ne disposons d’aucune lettre, d’aucune indication autobiographique (même sous la forme d’une préface à un ouvrage), d’aucun document officiel, ni même d’aucune allusion par un de ses contemporains.
Comme le résume l’historien des mathématiques Peter Schreiber, sur la vie d’Euclide, pas un seul fait sûr n’est connu.
Euclide d'Alexandrie (vers -300), est célèbre pour ses 13 livres des "Éléments". Notons au passage que selon les écrits de Proclus (412/485), Euclide aurait été comtemporain du roi Ptolémée Ier Sôter (-365/-283), qui donna son accord à Démétrios de Phalère (vers -355/vers -281) pour son projet de création de la bibliothèque d'Alexandrie, dont les travaux commencèrent vers -288 et seront achevés sous Ptolémée II. Concernant, cette œuvre "Les éléments" d'Euclide, certains historiens des sciencs s'accordent sur le fait qu'elle reposerait en partie sur une compilation de connaissances plus anciennes en géométrie et en arithmétique. Des traités certainement développés au cours de siècles par les prêtres égyptiens et les savants de Mésopotamie. Cette probabilité historique suggère qu’Euclide aurait certainement eu accès à de nombreux textes anciens rassemblés et disponibles à l'aude des premières heures de la bibliothèque d'Alexandrie, qu’il a assurément enrichit et développé. Dans son livre IV des éléments, dont le titre est : « Des figures inscrites et circonscrites relativement à un cercle (triangle, carré, pentagone …)
https://fr.wikipedia.org/wiki/Livre_IV_des_%C3%89l%C3%A9ments_d%27Euclide
Il y est inscrit la fameuse définition, (Attribuée à Euclide mais sans preuve absolue et irréfutable de sa paternité !)
Définition : "De la division ou partage en extrême et moyenne raison" :
Autrement dit, la proportion du nombre d’or, de sorte que :
La division d'un segment AB par un point intérieur P
Figure 9
Pour ceux qui voudraient approfondir le coté (genèse) de l’œuvre d’Euclide, en lien : une étude historiquement très détaillée de :
Monsieur Bernard Vitrac (Directeur de recherches émérite au CNRS).
https://www.academia.edu/1229087/Structure_et_gen%C3%A8se_des_%C3%89l%C3%A9ments_dEuclide
Ci-dessous, un extrait (copié/collé page 7) de cet excellant exposer sur l’historique des 13 livres des Éléments d’Euclide : (auteur Monsieur Bernard Vitrac)
« On a souvent fait remarquer que les grands textes mathématiques fondateurs dans les civilisations anciennes : les neuf chapitres chinois, le papyrus Rhind, les grandes tablettes mésopotamiennes type BM 13901 … étaient anonymes. Mais, à cela on peut faire trois objections :
• Prendre un pseudonyme n’est pas la même chose que faire circuler un écrit anonyme. C’est reconnaître qu’il faut un nom d’auteur, même fictif.
• A la différence de ce que nous observons dans les civilisations du Proche-Orient ancien, la culture grecque s’est développée dans un contexte de communication extrêmement agonistique, scandée par les polémiques, les querelles de priorité, les accusations de plagiat … et elle a par conséquent développé un sens aigu de la propriété intellectuelle et du statut d’auteur.
• Les Éléments ne sont pas un texte fondateur ; ils constituent seulement l’ouvrage complet de géométrie et d’arithmétique grecques le plus ancien qui nous soit parvenu, mais des mathématiques de ce style avaient été développées depuis plus d’un siècle (peut-être plusieurs) avant Euclide. Si l’on veut s’obstiner dans cette direction et pour s’inscrire dans des modalités de publication que d’autres auteurs antiques ont connues, on pourrait imaginer qu’Euclide avait enseigné la matière qui constitue les Éléments sans leur donner la forme achevée que nous leur connaissons. Un ou plusieurs de ses disciples se serai(en)t acquitter de cette tâche. On connaît au moins deux exemples de ce genre, obéissant d’ailleurs à des scénarios assez différents :(i) les écrits du philosophe Plotin édités par son élève Porphyre ;(ii) les œuvres “scolaires” d’Aristote, éditées officiellement seulement au 1er siècle avant notre ère, entre autres par Andronicos de Rhodes. Selon le modèle (i), on pourrait imaginer qu’Apollonius a joué un rôle dans l’édition des Éléments, puisque plusieurs indices suggèrent qu’il avait repris des thématiques euclidiennes. Mais on voit aussi que c’était plutôt pour aller plus loin qu’Euclide (théorie des irrationnelles inordonnées, comparaison du dodécaèdre et de l’icosaèdre inscrits dans une même sphère), voire pour en modifier certaines fondations (axiomes ou notions communes ; constructions fondamentales) si l’on en croit les indications quelque peu incertaines rapportées par Proclus. Si donc Apollonius avait édité les Éléments, ils ne coïncideraient pas avec ce que nous avons. Le schéma (ii) impliquerait une discontinuité dans la tradition des Éléments qui n’aurait rien d’étonnant, compte tenu de ce que nous avons dit auparavant, d’autant que les institutions savantes alexandrines ont semble-t-il beaucoup souffert des péripéties politiques du milieu du II siècle avant notre ère. On pourrait par exemple imaginer que Héron, au début de l’ère chrétienne, ait été l’initiateur d’un renouveau euclidien. Mais on n’a aucune trace d’un tel phénomène que les commentateurs n’auraient probablement pas manqué de signaler. En outre, cela paraît peu compatible avec deux autres informations à partir de Proclus, il paraît quasiment certain que Géminus (1er siècle avant notre ère) avait discuté des Éléments d’Euclide, du moins des fondements du premier Livre ; la tradition arabe présente plutôt Héron comme un commentateur
(le premier ?) et certaines de ses prises de position concernant le texte des Éléments présuppose l’existence d’une version antérieure. »
Section 4
Les anciens Égyptiens de 2500 avant notre ère avaient-ils connaissance de PHI ?
Ci-dessous un élément, une esquisse de preuve, ou une coïncidence.
Beaucoup d’autres « coïncidences, ou pas !» dans le chapitre 3.
Le site de la fondation GLEN DASH, nous offre ce plan d’on la précision est inférieure à 10 cm pour ce qui concerne les coordonnées de Khéops. Ces données font suite à une étude très minutieuse, effectuée par un expert de la fondation GLEN DASH, concernant différents rapports d’arpentages.
https://www.glendash.com/archaeology/working-papers.html
RUBRIQUE : Où se trouvent précisément les trois pyramides de Gizeh ?
Figure 10
En me servant de ce tableau, j’ai retracé à l’aide du logiciel AUTOCAD le deuxième plan ci-dessous, en respectant scrupuleusement les dimenssions données par ce relevé (figure 10).
Il apparait une évidence de volonté d’utiliser les racines carrées de 2 et 3 multipliées par 1000, comme base de délimitation du plan des 3 pyramides.
Le premier plan ci-dessous est tracé en unité de coudée royale.
Ce premier plan est délimité avec les valeurs des racine carrées de 2 et 3 multipliées par 1000. Toutes les dimensions sont à considérées en coudées royale. La question qui nous préoccupe ici est de savoir si les constructeurs des 3 pyramides de GIZEH connaissaient et utilisaient le nombre d’or PHI. Remarquez bien la distance entre le coin SUD/OUEST de la grande pyramide de Khéops et le coin SUD/OUEST de la pyramide de Mykérinos.
Les constructeurs de Khéops ont très probablement choisi 440 coudées pour la base de cette pyramide en pensant entre autres choses à ce nombre d’or. Une belle harmonie mathématique entre les dimensions de la base de Khéops, le choix des racines carrées de 2 et 3 et ce nombre d’or qui émerge de façon très simple.
Ou s’agit-il toujours d’une pure coïncidence ?
Une hypothèse déjà mentionnée théorise que l’emplacement des 3 pyramides étaient prévues à l’avance.
Ce plan est tracé selon les valeurs exactes données par le tableau de la fondation Glen Dash révisé en 2017.
Il nous sert à comparer les valeurs réelles données en mètre de la position des 3 pyramides de GIZEH avec les valeurs mathématiques du premier plan, coté avec les racines carrées de 2 et 3 multipliées par 1000 et arrondies à 3 chiffres après la virgule.
Différence avec la racine carrée de :
2*1000 est de :1416,157 c – 1414,213 c=
1,944 coudées = 1 m et 1 7,8 mm
Une différence de 0,137%.
Différence avec la racine carrée de
3*1000 est de :173,148 c – 1732,05 c=
2,098 coudées = 1 m et 98 mm
Une Différence de 0 ,121%.
Différence avec la valeur de PHI*1000 obtenu dans le premier plan est de :
1621,016 – 1618,174=2,842 coudées.
Soit 1 m et 49 cm
Une différence de 0,175% par rapport à la valeur du premier plan 1618,174.
Et une différence de 0,184% par rapport à la valeur exacte de PHI*1000
Tablette YBC7289
(1800 à 1600 ans avant notre ère)
https://pedagogie.ac-orleans-tours.fr/fileadmin/user_upload/maths/Faire_des_maths/rallye/corriges_culture/2013_racine_de_deux_corrige.pdf